Виды дробей

2. Обыкновенные дроби

2.1 Определение и запись

Обыкновенной дробью называют выражение вида

где $a \in \mathbb{Z}$ — числитель, $b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ — знаменатель. Дробная черта обозначает операцию деления. Числитель показывает, сколько равных частей взято, знаменатель — на сколько равных частей разделено целое.

2.2 Правильные и неправильные дроби

2.3 Основное свойство дроби

Основное свойство дроби утверждает, что числитель и знаменатель можно одновременно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, не изменив значения дроби:

Это свойство лежит в основе двух ключевых операций:

• Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (НОД). Дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты ($\gcd(a,b)=1$), называют несократимой.
• Приведение к общему знаменателю — умножение числителя и знаменателя на такой множитель, чтобы знаменатель стал равен наименьшему общему кратному (НОК) нескольких знаменателей.

2.4 Числовая прямая и знак дроби

Дробь называют положительной, если $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки, и отрицательной — если разные. Принято знак дроби выносить перед дробной чертой:

2.5 Арифметические операции над обыкновенными дробями

При сложении и вычитании дробей предварительно приводят к общему знаменателю; при умножении и делении этого не требуется.

2.6 Сравнение дробей

Для дробей с одинаковыми знаменателями сравнивают числители. В общем случае:

3. Смешанные числа (смешанные дроби)

Смешанным числом называют запись, объединяющую целую часть и правильную обыкновенную дробь:

Любую неправильную дробь представляют в виде смешанного числа через деление с остатком:

Перевод смешанного числа в неправильную дробь:

Смешанные числа широко используются в прикладных расчётах и повседневной жизни, однако в алгебраических преобразованиях их, как правило, предварительно переводят в неправильные дроби — это позволяет избежать ошибок при умножении и делении.

4. Десятичные дроби

4.1 Определение и позиционная запись

Десятичной дробью называют обыкновенную дробь, знаменатель которой есть степень числа 10. Она записывается с использованием десятичного разделителя (запятой в российской традиции):

Каждый разряд после запятой соответствует отрицательной степени десяти:

4.2 Конечные десятичные дроби

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой. Критерий конечности: несократимая обыкновенная дробь $\tfrac{p}{q}$ представима конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда знаменатель $q$ имеет вид $2^m \cdot 5^n$, $m,n \geq 0$.

4.3 Бесконечные периодические десятичные дроби

Десятичная дробь называется периодической, если с некоторого места начинается бесконечно повторяющаяся группа цифр — период. Период обозначают скобками:

Любая рациональная дробь $\tfrac{p}{q}$, чей знаменатель $q$ содержит простые множители, отличные от 2 и 5, порождает периодическую десятичную дробь. Длина периода не превышает $q - 1$ (следствие теоремы Эйлера: длина периода делит $\varphi(q)$; для простых $q$ это частный случай теоремы Ферма о малом).

Перевод периодической дроби в обыкновенную. Пусть $x = a{,}(b_1 b_2 \ldots b_k)$. Умножим $x$ на $10^k$:

Для дроби с предпериодом длины $m$ и периодом длины $k$ формула принимает вид:

4.4 Бесконечные непериодические десятичные дроби

Бесконечная десятичная дробь, не имеющая периода, соответствует иррациональному числу. Такие числа не могут быть выражены в виде дроби $\tfrac{p}{q}$ с целыми $p,q$, $q \neq 0$. Классические примеры:

5. Алгебраические дроби

5.1 Определение

Алгебраической дробью называют выражение вида $\tfrac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены над некоторым полем (обычно $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$), причём $Q(x) \not\equiv 0$. Область определения дроби — множество значений переменной, при которых $Q(x) \neq 0$.

5.2 Правильные и неправильные алгебраические дроби

По аналогии с обыкновенными дробями алгебраическую дробь называют правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя ($\deg P < \deg Q$), и неправильной — в противном случае. Неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби путём деления «уголком»:

5.3 Разложение на простейшие дроби

Любую правильную алгебраическую дробь над $\mathbb{R}$ можно единственным образом разложить в сумму простейших дробей (метод частичных дробей). Вид слагаемых определяется разложением знаменателя на неприводимые множители:

Разложение на простейшие дроби широко применяется при вычислении интегралов от рациональных функций, при решении дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа, а также в теории сигналов.

5.4 Тождественные преобразования алгебраических дробей

Над алгебраическими дробями определены те же операции, что и над обыкновенными. Сокращение производится делением на НОД многочленов, вычисляемый алгоритмом Евклида для многочленов:

6. Цепные (непрерывные) дроби

6.1 Определение

Цепной (непрерывной) дробью называют выражение вида:

где $a_0 \in \mathbb{Z}$, а $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — натуральные числа, называемые неполными частными цепной дроби. Используется компактная запись: $[a_0;\, a_1, a_2, a_3, \ldots]$.

6.2 Конечные и бесконечные цепные дроби

6.3 Подходящие дроби (конвергенты)

Конечные обрывки цепной дроби $\tfrac{p_n}{q_n} = [a_0; a_1, \ldots, a_n]$ называют подходящими дробями. Они вычисляются по рекуррентным формулам:

Подходящие дроби чередуются по обе стороны от предела:

По теореме Лагранжа–Лежандра: если $\bigl|\alpha - \tfrac{p}{q}\bigr| < \tfrac{1}{2q^2}$, то $\tfrac{p}{q}$ является подходящей дробью для $\alpha$. Это делает цепные дроби оптимальным инструментом рациональной аппроксимации.

6.4 Применения цепных дробей

• Теория чисел: доказательство теоремы Ферма о представлении простых чисел суммой двух квадратов, решение уравнения Пелля $x^2 - Dy^2 = 1$.
• Криптография: атака Винера на RSA использует цепные дроби для нахождения секретного показателя из открытого ключа.
• Численный анализ: цепные дроби дают рациональные аппроксимации функций (Паде-приближения).
• Небесная механика: анализ резонансов орбитальных периодов планет (соотношение периодов Юпитера и Сатурна близко к $\tfrac{2}{5}$).

7. Египетские (единичные) дроби

Единичной (египетской) дробью называют дробь с числителем 1: $\tfrac{1}{n}$, $n \in \mathbb{N}$. Древние египтяне записывали любую дробь как сумму различных единичных дробей — так называемое разложение в египетскую дробь. Гипотеза Эрдёша–Штрауса (1948) утверждает, что для любого натурального $n \geq 2$ дробь $\tfrac{4}{n}$ представима суммой трёх единичных дробей. Гипотеза не доказана в общем случае, однако верифицирована для всех $n \leq 10^{14}$:

Алгоритм Фибоначчи–Силвестра (жадный алгоритм): на каждом шаге выбирают наименьшую единичную дробь, не превышающую остаток, и вычитают её:

8. Дроби в расширенных числовых системах

8.1 Рациональные числа как классы эквивалентности

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ формально строится как множество классов эквивалентности пар $(a, b)$, $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, с отношением эквивалентности $(a,b) \sim (c,d) \iff ad = bc$. Это превращает понятие дроби в строгий алгебраический объект — элемент поля частных кольца $\mathbb{Z}$.

8.2 Поле частных произвольной целостной области

Конструкция поля частных обобщается на произвольную целостную область (коммутативное кольцо без делителей нуля). Для любой такой области $D$ строится поле частных $\mathrm{Frac}(D)$:

Поле рациональных функций $\mathbb{R}(x) = \mathrm{Frac}(\mathbb{R}[x])$ — это в точности алгебраические дроби, описанные в разделе 5.

8.3 Передаточные функции — дроби в теории управления

В теории управления и квантовой механике рассматриваются выражения, числитель или знаменатель которых является оператором или матрицей. Передаточная функция линейной системы:

— алгебраическая дробь от комплексного аргумента $s$ (переменная Лапласа), используемая в анализе устойчивости, синтезе регуляторов и частотном анализе систем.

9. Сводная характеристика видов дробей