Десятичные дроби

Цена 149,99 ₽, температура 36,6 °C, рост 1,75 м — всё это десятичные дроби. Они встречаются каждый день, но мало кто задумывается, почему они устроены именно так и что вообще означает цифра после запятой. Разберём это раз и навсегда.

Что такое десятичная дробь

Дробь — это способ записать часть чего-либо. Когда мы делим пиццу на 4 равные части и берём одну, мы получаем 1/4 пиццы. Это обыкновенная дробь.

Десятичная дробь — это особый способ записи той же самой идеи, где знаменатель всегда равен 10, 100, 1000 и так далее. Вместо черты числитель и знаменатель «сливаются» в одну запись через запятую.

Десятичная дробь — число, у которого знаменатель является степенью числа 10. Записывается через запятую (или точку в англоязычных странах).

3/10 = 0,3    47/100 = 0,47    5/1000 = 0,005

Разряды десятичной дроби

Каждая цифра в числе занимает строго определённое место — разряд. Разряды слева от запятой вы знаете с начальной школы (единицы, десятки, сотни…). Справа от запятой они продолжаются в обратную сторону.

Как читать десятичные дроби

Правило простое: называем целую часть, затем дробную часть как целое число, и добавляем название последнего занятого разряда.

Про нули в конце. Нули в конце дробной части значение не меняют: 2,50 = 2,5 = 2,500. Но для точности измерений они важны: запись 2,50 означает, что измерение сделано до сотых (то есть точнее, чем 2,5).

Виды десятичных дробей

Все десятичные дроби делятся на три вида — в зависимости от того, что происходит с цифрами после запятой.

• Конечная (например, 0,25) — цифры после запятой заканчиваются, можно точно записать.
• Бесконечная периодическая (например, 0,(3)) — цифры бесконечны, но повторяются циклически.
• Бесконечная непериодическая (например, 3,14159…) — цифры бесконечны и не повторяются; иррациональные числа.

Конечные десятичные дроби

После запятой стоит конечное число цифр — дробь в какой-то момент заканчивается. Их ещё называют ограниченными.

Примеры: 0,5 = 1/2  ·  0,25 = 1/4  ·  0,125 = 1/8  ·  3,75 = 15/4.

Все конечные дроби получаются из обыкновенных, у которых знаменатель содержит только множители 2 и 5.

Бесконечные периодические дроби

Цифры уходят в бесконечность, но с определённым циклом — периодом. Период записывают в круглых скобках или подчёркивают.

Бесконечные непериодические дроби

Цифры уходят в бесконечность и никогда не повторяются циклически. Такие числа невозможно записать в виде обыкновенной дроби — они называются иррациональными.

• π = 3,141592653589793238… — отношение длины окружности к диаметру
• √2 = 1,41421356237309504… — диагональ квадрата со стороной 1
• e = 2,71828182845904523… — основание натурального логарифма

Перевод: десятичная ↔ обыкновенная

Это отдельная большая тема, но смысл прост:

Десятичная → обыкновенная

1. Цифры после запятой → числитель. В знаменатель пишем 1 и столько нулей, сколько знаков после запятой: 0,36 = 36/100
2. Сокращаем дробь: 36/100 = 9/25

Ответ: 0,36 = 9/25

Обыкновенная → десятичная

1. Приводим знаменатель к степени 10, умножив числитель и знаменатель на нужный множитель: 3/4 = 75/100
2. Читаем результат: 75 сотых = 0,75

Ответ: 3/4 = 0,75

Как перевести десятичную дробь в проценты и обратно

Десятичная дробь → проценты. Умножаем дробь на 100 (то есть переносим запятую на 2 знака вправо) и добавляем знак %: 0,75 × 100 = 75. Ответ: 0,75 = 75%.

Проценты → десятичная дробь. Делим число процентов на 100 (переносим запятую на 2 знака влево) и убираем знак %: 40% ÷ 100 = 0,4. Ответ: 40% = 0,4.

Сравнение десятичных дробей

Чтобы понять, какая из двух десятичных дробей больше, действуем по шагам — так же, как при чтении многозначных чисел.

1. Сначала сравниваем целые части. Если они разные — больше та дробь, у которой целая часть больше. Дальше можно не смотреть: 12,05 > 9,99, потому что 12 > 9.
2. Если целые части равны, уравниваем количество цифр после запятой, дописывая нули справа (это не меняет значение дроби): 0,7 → 0,70 и 0,65 → 0,65
3. Сравниваем получившиеся дробные части как обычные числа, разряд за разрядом слева направо: 70 > 65, значит 0,7 > 0,65

Ответ: 0,7 > 0,65

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями выполняют те же четыре действия, что и с целыми числами: сложение и вычитание, умножение, деление, округление.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Главное правило — записать дроби друг под другом так, чтобы запятая была строго под запятой. Тогда единицы окажутся под единицами, десятые под десятыми и так далее, и складывать можно как обычные столбиком числа.

Пример: 3,4 + 1,25

1. Уравниваем количество знаков после запятой нулём справа: 3,4 → 3,40
2. Складываем как целые числа, не обращая внимания на запятую: 340 + 125 = 465
3. Возвращаем запятую на то же место (два знака после запятой): 465 → 4,65

Ответ: 3,4 + 1,25 = 4,65

Вычитание работает точно так же: уравнять число знаков после запятой, записать запятую под запятой и вычесть столбиком, как целые числа.

Умножение десятичных дробей

При умножении запятые в множителях временно не важны: числа перемножают как целые, а потом запятую ставят по количеству знаков после запятой в обоих множителях вместе.

Пример: 2,3 × 1,4

1. Убираем запятые и умножаем как целые числа: 23 × 14 = 322
2. Считаем, сколько всего знаков после запятой было в обоих множителях: у 2,3 — один знак, у 1,4 — один знак, всего 2
3. Отсчитываем в результате справа налево 2 знака и ставим запятую: 322 → 3,22

Ответ: 2,3 × 1,4 = 3,22

Деление десятичной дроби на натуральное число

Делим как обычные числа столбиком, но как только при делении «сносим» цифру, стоящую сразу после запятой делимого, — сразу ставим запятую в частном и продолжаем деление дальше.

Пример: 7,2 ÷ 3

1. Делим целую часть: 7 ÷ 3 = 2, остаток 1
2. Сносим первую цифру после запятой (2), получаем 12, и сразу ставим запятую в частном: 2,
3. 12 ÷ 3 = 4, остатка нет

Ответ: 7,2 ÷ 3 = 2,4

Деление на десятичную дробь

Чтобы делить на дробное число, сначала избавляются от запятой в делителе: двигают запятую в делителе и делимом вправо на одинаковое количество знаков, пока делитель не станет целым числом. От этого частное не меняется — это то же самое, что домножить оба числа на одну и ту же степень десяти.

Пример: 3,25 ÷ 0,5

1. В делителе один знак после запятой — сдвигаем запятую в обоих числах на 1 знак вправо: 3,25 → 32,5, 0,5 → 5
2. Делим как дробь на натуральное число: 32,5 ÷ 5 = 6,5

Ответ: 3,25 ÷ 0,5 = 6,5

Округление десятичных дробей

Чтобы округлить дробь до нужного разряда, смотрят на цифру, которая идёт сразу после этого разряда: если она от 0 до 4 — оставляют разряд без изменений, если от 5 до 9 — увеличивают его на 1. Все цифры после округляемого разряда отбрасывают.

Пример: округлить 3,847 до сотых

1. Сотые — это вторая цифра после запятой, то есть 4. Смотрим на следующую цифру — тысячные, это 7
2. 7 попадает в диапазон 5–9, значит увеличиваем цифру сотых на 1: 4 → 5
3. Отбрасываем всё, что после сотых

Ответ: 3,847 ≈ 3,85

Где встречаются в реальной жизни

Десятичные дроби не абстракция — они повсюду вокруг нас.

• 149,99 ₽ — цены в магазине всегда десятичные дроби
• 36,6 °C — температура тела измеряется до десятых
• 1,75 м — рост и длина: дробные значения в метрах
• 57,3 л — объём топлива на заправке
• 9,58 с — мировой рекорд Усэйна Болта на 100 м
• 0,25 мг — дозировки лекарств: точность до тысячных

История десятичных дробей

Десятичные дроби — не чьё-то единственное изобретение. Их открывали независимо друг от друга в разных концах света на протяжении почти двух тысяч лет. История этого понятия — хороший пример того, как практическая нужда раз за разом подталкивала человечество к одному и тому же решению.

Древний Китай: первые шаги

Десятичные дроби впервые появились в Китае примерно в III веке до нашей эры — и не случайно: китайцы пользовались десятичной системой мер, поэтому дробные значения записывали словами через единицы этой системы. Число вроде нашего 2,1354 выглядело так: «2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки» — каждое слово означало следующий разряд, как матрёшка внутри матрёшки.

Китайский математик Лю Хуэй рекомендовал пользоваться дробями со знаменателями 10, 100 и т.д. при извлечении квадратных корней. Это правило стало одним из ключевых шагов к тому, что мы сегодня называем десятичной записью.

Аль-Каши: первая полная теория (1427)

Правила вычисления с десятичными дробями подробно описал учёный Джемшид ибн Масуд аль-Каши, живший в Самарканде в начале XV века. В 1427 году он издал трактат «Ключ к арифметике» — первый систематический труд, где десятичные дроби были представлены как полноценный математический инструмент со своими правилами всех четырёх действий.

Запятой у него ещё не было. Чтобы отделить целую часть от дробной, аль-Каши писал их разными цветами — чёрными и красными чернилами, а иногда разделял вертикальной чертой (347 | 285 в современной записи — 347,285).

Аль-Каши считал десятичные дроби своим изобретением — он, по всей видимости, не знал о китайских предшественниках. Его трактаты не были известны и европейским учёным, поэтому Европа шла к тому же открытию своим путём.

Симон Стевин: Европа открывает заново (1585)

Фламандский математик и инженер Симон Стевин (1548–1620) столкнулся с практической проблемой: натуральные числа записывались в десятичной системе, а дроби — в шестидесятеричной, унаследованной от Вавилона. Работать с ними вместе было крайне неудобно. В 1585 году он издал небольшую книгу «De Thiende» («О десятой»), где предложил отказаться от всяких других дробей и перейти на десятичные.

Его запись была громоздкой: каждая цифра дробной части писалась в кружке с номером разряда. Число 3,759 выглядело бы как 3⓪7①5②9③ — кружок с цифрой означал «делить на 10 в степени этого числа». Удобной запись не назовёшь, но идея была верной: Европа приняла её.

Запятая: последний штрих (XVII век)

После Стевина математики Европы искали более простой разделитель. В начале XVII века в обиход вошла точка и запятая — и этот знак оказался настолько удобным, что используется по сей день. Точка принята в США, Великобритании и ряде других стран; запятая — в России, Германии, Франции и большинстве стран Европы.

В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году в первом русском учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная». Широкое же практическое применение десятичные дроби получили в XIX веке — после того как в 1875 году 20 государств договорились о единой метрической системе мер.

Хронология: путь к современной записи

1. III в. до н.э., Китай — Лю Хуэй. Дроби с знаменателями 10, 100, 1000 при вычислении корней. Записывались словами через меры длины: чи, цунь, доли…
2. 1427 г., Самарканд — аль-Каши. «Ключ к арифметике»: первая полная теория с правилами всех четырёх действий. Разделитель — вертикальная черта или два цвета чернил.
3. 1585 г., Нидерланды — Симон Стевин. «De Thiende» («О десятой»): Европа принимает десятичные дроби. Стевин требует ввести единую метрическую систему.
4. Нач. XVII в., Европа — точка и запятая. Появляется современный разделитель: точка в Англии и США, запятая в России и большинстве стран Европы.
5. 1703 г., Россия — Магницкий. «Арифметика» Леонтия Магницкого — первый российский учебник, где изложено учение о десятичных дробях.
6. 1875 г., Париж — метрическая система. 20 государств подписывают Метрическую конвенцию. Десятичные дроби становятся мировым стандартом измерений.

Коротко о главном

• Десятичная дробь — обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000… записанная через запятую.
• Каждый разряд справа от запятой в 10 раз меньше предыдущего: десятые → сотые → тысячные…
• Конечные — заканчиваются. Периодические — повторяются. Непериодические — бесконечны и хаотичны (иррациональные).
• Конечные и периодические дроби можно перевести в обыкновенные. Непериодические — нельзя.