Обыкновенные дроби

Что такое обыкновенная дробь

Представьте: пиццу разрезали на 8 равных кусков и взяли 3 из них. Как записать это математически? Именно для таких ситуаций человечество придумало дроби — один из древнейших и важнейших инструментов математики.

Обыкновенная дробь (её также называют простая дробь) — это способ записать часть от целого или результат деления одного числа на другое. Дробь состоит из двух целых чисел, разделённых горизонтальной чертой, которая называется дробной чертой.

Обыкновенная (простая) дробь — это выражение вида $$\frac{a}{b},$$ где $a$ — числитель (сколько частей взяли), $b$ — знаменатель (на сколько равных частей разделили целое), причём $b \neq 0$.

Числитель стоит над чертой, знаменатель — под чертой. Например, в дроби $\dfrac{3}{8}$: числитель равен $3$, знаменатель равен $8$. Читается: «три восьмых».

Из истории дробей

Дроби — одно из старейших математических изобретений человечества. Древнеегипетские папирусы (около 1650 г. до н. э.), в частности знаменитый папирус Ринда, содержат задачи на «аликвотные» (единичные) дроби вида $\dfrac{1}{n}$. Египтяне представляли любую дробь как сумму единичных, например: $$\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}.$$

1. Около 1650 г. до н. э., Египет. Папирус Ринда: задачи на единичные дроби $\dfrac{1}{n}$.
2. II тысячелетие до н. э., Вавилон. Шестидесятеричные дроби (основание 60) — отсюда 60 минут в часе и 60 секунд в минуте.
3. XII век, арабские математики. Аль-Хасар вводит запись с горизонтальной дробной чертой.
4. XIII век, Европа. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) популяризирует эту запись в Европе.

Виды обыкновенных дробей

Все обыкновенные дроби делятся на несколько типов в зависимости от соотношения числителя и знаменателя.

Правильные и неправильные дроби

Правильная дробь всегда меньше единицы: часть меньше целого. Неправильная дробь — это уже единица целиком (или больше): например, $\dfrac{5}{5}=1$, а $\dfrac{7}{3}$ — это больше одного целого.

Смешанные числа

Смешанное число — удобная запись для неправильной дроби: она сразу показывает, сколько целых частей набралось и что осталось «в остатке». Подробно о переводе между этими формами — в отдельном разделе ниже.

Дроби на числовой прямой

Любую дробь можно отметить на числовой прямой. Для этого отрезок между двумя соседними целыми числами делится на столько равных частей, каков знаменатель, а затем отсчитывается нужное количество частей.

Основное свойство дроби и сокращение

Если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится: $$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a \div k}{b \div k}, \quad k \neq 0.$$

Это свойство — краеугольный камень всей арифметики дробей. Именно оно позволяет приводить дроби к общему знаменателю и сокращать их.

Сокращение дробей

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Дробь называется несократимой, если её числитель и знаменатель взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1: $$\frac{a}{b} = \frac{a \div \text{НОД}(a,b)}{b \div \text{НОД}(a,b)}.$$

Пример: сократим $\dfrac{36}{48}$.

1. Раскладываем числа на множители: $36 = 2^2\cdot3^2$, $48=2^4\cdot3$.
2. НОД содержит общие множители в наименьшей степени: НОД$(36,48)=2^2\cdot3=12$.
3. Делим числитель и знаменатель на 12: $36 \div 12 = 3$, $48 \div 12 = 4$.
4. Результат: $\dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ — дальше сокращать нельзя, дробь несократима.

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы сравнивать, складывать или вычитать дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю — числу, на которое делятся оба знаменателя. Удобнее всего брать наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей: $$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}, \quad \text{где } m = \frac{\text{НОК}(b_1,b_2)}{b}.$$

Пример: приведём $\dfrac{5}{6}$ и $\dfrac{3}{8}$ к общему знаменателю.

1. Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30… Кратные 8: 8, 16, 24, 32… Первое совпадение — 24, значит НОК$(6,8)=24$.
2. Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 6 = 4$, получаем $\dfrac{5\cdot4}{6\cdot4}=\dfrac{20}{24}$.
3. Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 8 = 3$, получаем $\dfrac{3\cdot3}{8\cdot3}=\dfrac{9}{24}$.
4. Результат: $\dfrac{20}{24}$ и $\dfrac{9}{24}$ — теперь их можно сравнивать и складывать.

Сравнение дробей

Есть несколько способов сравнить две дроби.

Сложение и вычитание дробей

Складывать и вычитать можно только однородные доли, то есть дроби с одинаковым знаменателем.

Одинаковые знаменатели

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}, \qquad \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}.$$ Знаменатель остаётся прежним — складываются (или вычитаются) только числители. Например: $$\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9}.$$

Разные знаменатели

Если знаменатели разные, сначала приводим дроби к общему знаменателю (НОК), затем складываем или вычитаем числители: $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a\cdot\frac{\text{НОК}(b,d)}{b} \;\pm\; c\cdot\frac{\text{НОК}(b,d)}{d}}{\text{НОК}(b,d)}.$$

Пример: вычислим $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$.

1. НОК$(4,6)=12$.
2. $\frac{3}{4} = \frac{3\cdot3}{12} = \frac{9}{12}$.
3. $\frac{5}{6} = \frac{5\cdot2}{12} = \frac{10}{12}$.
4. $\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$.

Умножение дробей

Умножение — самая «удобная» операция с дробями: приводить к общему знаменателю не нужно. Числители перемножаются отдельно, знаменатели — отдельно: $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}.$$

Примеры:

$$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{35}$$ $$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$$

Умножение дроби на целое число

Целое число $n$ можно записать как дробь $\dfrac{n}{1}$, тогда $$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a\cdot n}{b}.$$ Например: $\dfrac{3}{7}\cdot14=\dfrac{42}{7}=6$.

Деление дробей

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Обратная дробь получается переворачиванием: числитель и знаменатель меняются местами. Дробь, обратная $\dfrac{a}{b}$, есть $\dfrac{b}{a}$ (при $a\neq0$): $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}.$$

Примеры:

$$\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2} = \frac{21}{10} = 2\frac{1}{10}$$ $$\frac{4}{9} \div 6 = \frac{4}{9}\cdot\frac{1}{6} = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$$

Смешанные числа

Смешанное число — это запись вида $n\dfrac{a}{b}$, где $n$ — целая часть, $\dfrac{a}{b}$ — правильная дробь. Смешанные числа и неправильные дроби — это две формы записи одного и того же числа.

Перевод между формами

Из неправильной дроби в смешанную — делим числитель на знаменатель с остатком: $$\frac{17}{5} = 3 \text{ ост. } 2 = 3\frac{2}{5}.$$ Из смешанной в неправильную — умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель: $$3\frac{2}{5} = \frac{3\cdot5+2}{5} = \frac{17}{5}.$$

Действия со смешанными числами

При сложении и вычитании удобно работать по частям — отдельно целые, отдельно дробные, а затем при необходимости «занимать» единицу.

Пример: $2\dfrac{3}{4} + 1\dfrac{2}{3}$.

1. Складываем целые части: $2+1=3$.
2. Складываем дробные части через НОК$(4,3)=12$: $\frac{9}{12}+\frac{8}{12}=\frac{17}{12}$.
3. Дробная часть неправильная: $\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$, поэтому целую часть увеличиваем: $3+1=4$.
4. Ответ: $4\dfrac{5}{12}$.

Нахождение части от числа и числа по его части

Это одна из самых частых практических задач с дробями: не только выполнить действие с двумя дробями, но и применить дробь к конкретному числу или величине.

Как найти дробь от числа

Чтобы найти дробь $\dfrac{a}{b}$ от числа $N$, нужно умножить это число на дробь: $$N \cdot \frac{a}{b}.$$

Пример: найдите $\dfrac{3}{5}$ от 40.

$$\frac{3}{5} \cdot 40 = \frac{3\cdot40}{5} = \frac{120}{5} = 24.$$

Как найти число по его дроби (части)

Если известно, что дробь $\dfrac{a}{b}$ от неизвестного числа $x$ равна значению $M$, то всё число находится делением $M$ на эту дробь: $$x = M \div \frac{a}{b} = M \cdot \frac{b}{a}.$$

Пример: $\dfrac{3}{5}$ числа равны 24. Найдите это число.

$$x = 24 \div \frac{3}{5} = 24 \cdot \frac{5}{3} = \frac{120}{3} = 40.$$

Текстовые задачи с дробями

Задача 1. Часть от числа

В классе 24 ученика. $\dfrac{3}{8}$ из них занимаются в математическом кружке. Сколько учеников ходит в кружок?

1. Ищем часть от числа — умножаем 24 на $\dfrac{3}{8}$.
2. $24 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{72}{8} = 9$.
3. Ответ: в кружок ходят 9 учеников.

Задача 2. Целое по его части

Велосипедист проехал $\dfrac{2}{7}$ маршрута, что составило 18 км. Найдите длину всего маршрута.

1. Известна часть маршрута — значит, ищем целое, делим на дробь.
2. $18 \div \dfrac{2}{7} = 18 \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{126}{2} = 63$.
3. Ответ: весь маршрут — 63 км.

Задача 3. Сложение долей в задаче

Пирог разделили на равные куски. Маша съела $\dfrac{1}{6}$ пирога, а Петя — $\dfrac{1}{3}$ пирога. Какую часть пирога они съели вместе и сколько осталось?

1. Приводим дроби к общему знаменателю: НОК$(6,3)=6$, поэтому $\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}$.
2. Складываем: $\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
3. Вместе съели половину пирога. Осталось $1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.

Связь обыкновенных и десятичных дробей

Десятичная дробь — это частный случай обыкновенной, знаменатель которой является степенью десяти: $$0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}, \qquad 0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}.$$

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Числитель делят на знаменатель. Результат бывает двух видов.

Свойства арифметических операций с дробями

Дроби, как и целые числа, подчиняются классическим законам арифметики.

Возведение дроби в степень

Дробь можно возводить в любую целую степень — положительную и отрицательную: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \qquad n \in \mathbb{Z}, \; b\neq0, \; a\neq0 \text{ при } n<0.$$

При отрицательной степени дробь переворачивают:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} = \frac{b^n}{a^n}.$$

Примеры:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$$ $$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$$

Дроби в алгебре: рациональные дроби

В алгебре понятие дроби расширяется: числитель и знаменатель могут быть не числами, а многочленами. Такие выражения называются рациональными дробями: $$\frac{P(x)}{Q(x)}, \quad \text{где } P(x),\,Q(x) \text{ — многочлены}, \; Q(x)\neq0.$$

Примеры:

$$\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1 \quad (x\neq-1)$$ $$\frac{2x^2+3x}{x^2-4} = \frac{x(2x+3)}{(x-2)(x+2)}$$

Все правила — сокращение, приведение к общему знаменателю, сложение, умножение, деление — работают для алгебраических дробей так же, как для числовых, только вместо НОД и НОК чисел используется разложение многочленов на множители.

Дроби в жизни и науке

Интересные факты и теоремы

Медиант двух дробей

Медиант дробей $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$ — это дробь $\dfrac{a+c}{b+d}$. В отличие от обычного сложения, медиант всегда лежит между исходными дробями: $$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \quad \text{если } \frac{a}{b} < \frac{c}{d}.$$ Это свойство используется в дереве Штерна — Броко, которое перечисляет все положительные рациональные числа без повторений.

Плотность рациональных чисел

Между любыми двумя различными дробями всегда найдётся ещё одна дробь — и бесконечно много дробей. Например, между $\dfrac{1}{3}$ и $\dfrac{1}{2}$ лежит их медиант $\dfrac{2}{5}$, а также $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{5}{13}$, $\dfrac{7}{20}$ и так далее.

Цепные дроби

Любое рациональное число можно записать в виде конечной цепной дроби: $$\frac{p}{q} = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{a_n}}}}.$$ Например, $\dfrac{355}{113}$ — знаменитое приближение числа $\pi$, точное до 6 знаков после запятой.

Теорема Штерна о несократимости медианта

Если $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$ несократимы и $|bc-ad|=1$ (такие пары называют фарейными соседями), то их медиант $\dfrac{a+c}{b+d}$ тоже несократим. Последовательности Фарея упорядочивают все несократимые дроби со знаменателями до $n$ и связаны с распределением простых чисел.

Типичные ошибки при работе с дробями

Проверь себя

Попробуйте решить самостоятельно, а затем сверьтесь с ответами в таблице.

1. Сократите дробь $\dfrac{45}{60}$.
2. Вычислите $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4}$.
3. Вычислите $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$.
4. Вычислите $\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{4}{9}$.
5. Вычислите $\dfrac{7}{10}\div\dfrac{7}{5}$.
6. Найдите $\dfrac{2}{7}$ от 63.
7. $\dfrac{4}{9}$ числа равны 36. Найдите это число.

Итоги: шпаргалка по дробям

Обыкновенные дроби — это не просто школьная тема. Это язык, на котором говорят точные науки, музыка, архитектура и повседневная жизнь. Умение уверенно работать с дробями — сложить, вычесть, умножить, разделить, сократить, сравнить, найти часть от числа и число по его части — открывает дверь к алгебре, анализу, теории чисел и всей остальной математике.