Действия с дробями
Что такое дробь и зачем она нужна
Дробь — это способ записать часть целого. Представьте пиццу, разрезанную на 8 равных кусков. Вы съели 3 куска. Сколько пиццы вы съели? Ответ записывается так: $\frac{3}{8}$ — три восьмых пиццы.
Дробь состоит из двух чисел, разделённых горизонтальной чертой:
$$\frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}}$$
Зачем вообще понадобились дроби? Потому что реальный мир не всегда делится нацело. Если шоколадку поровну разделить на троих, каждому достанется $\frac{1}{3}$ шоколадки — целым числом это не записать. А если у вас 130 рублей, а три яблока стоят 150, денег хватает только на $\frac{130}{150} = \frac{13}{15}$ покупки. Дроби — язык точности.
Правильные и неправильные дроби
Дроби делятся на два вида в зависимости от того, что больше: числитель или знаменатель.
Неправильную дробь удобно записывать как смешанное число — целую часть вместе с правильной дробью. Например, $\frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$: в тринадцати четвертях помещаются 3 целых (12 четвертей) и ещё одна четверть.
Как перевести неправильную дробь в смешанное число
- Шаг 1. Разделить числитель на знаменатель с остатком.
- Шаг 2. Неполное частное становится целой частью смешанного числа.
- Шаг 3. Остаток становится числителем дробной части, знаменатель остаётся прежним.
Как перевести смешанное число в неправильную дробь
Обратное действие: целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель — получаем новый числитель, а знаменатель оставляем прежним.
$$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$$
| Неправильная дробь | Деление с остатком | Смешанное число |
|---|---|---|
| $\frac{7}{3}$ | $7 = 3 \cdot 2 + 1$ | $2\frac{1}{3}$ |
| $\frac{11}{4}$ | $11 = 4 \cdot 2 + 3$ | $2\frac{3}{4}$ |
| $\frac{9}{2}$ | $9 = 2 \cdot 4 + 1$ | $4\frac{1}{2}$ |
| $\frac{20}{6}$ | $20 = 6 \cdot 3 + 2$ | $3\frac{2}{6} = 3\frac{1}{3}$ |
Сложение дробей
Сложение дробей отвечает на вопрос: какая часть целого получится, если взять одну часть и другую часть вместе?
Случай 1: одинаковые знаменатели
Если знаменатели одинаковые, части имеют один и тот же «размер». Складываем числители, а знаменатель оставляем прежним.
$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$$
Случай 2: разные знаменатели
Если знаменатели разные, складывать числители напрямую нельзя — это всё равно что складывать метры с сантиметрами, не переведя их в одни единицы. Сначала дроби нужно привести к общему знаменателю.
- Шаг 1. Найти общий знаменатель — удобнее всего наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
- Шаг 2. Привести каждую дробь к этому знаменателю: умножить её числитель и знаменатель на дополнительный множитель.
- Шаг 3. Сложить числители, знаменатель оставить.
- Шаг 4. Сократить результат, если это возможно.
В общем виде общим знаменателем всегда может служить произведение знаменателей $b \cdot d$:
$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$$
Эта формула верна всегда, но с НОК числа получаются меньше и сокращать в конце приходится реже.
| Пример | Общий знаменатель | После приведения | Результат |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ | 2 | $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ | $\frac{2}{2} = 1$ |
| $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ | 6 | $\frac{2}{6} + \frac{1}{6}$ | $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ |
| $\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$ | 15 | $\frac{6}{15} + \frac{5}{15}$ | $\frac{11}{15}$ |
| $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$ | 12 | $\frac{9}{12} + \frac{10}{12}$ | $\frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$ |
Совет: после сложения проверьте, нельзя ли сократить результат. Если у числителя и знаменателя есть общий делитель, дробь нужно сократить: $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Но так бывает не всегда: $\frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ уже несократима.
Вычитание дробей
Вычитание дробей подчиняется тем же правилам, что и сложение: нужны одинаковые знаменатели. Разница только в знаке — числители не складываются, а вычитаются.
Случай 1: одинаковые знаменатели
$$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$$
Случай 2: разные знаменатели
При разных знаменателях алгоритм тот же: найти НОК, привести дроби к общему знаменателю, вычесть числители.
$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$$
| Пример | Общий знаменатель | После приведения | Результат |
|---|---|---|---|
| $\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$ | 4 | $\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$ | $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ |
| $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$ | 6 | $\frac{5}{6} - \frac{2}{6}$ | $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ |
| $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$ | 15 | $\frac{10}{15} - \frac{3}{15}$ | $\frac{7}{15}$ |
| $\frac{5}{4} - \frac{2}{3}$ | 12 | $\frac{15}{12} - \frac{8}{12}$ | $\frac{7}{12}$ |
Осторожно: если вычитаемое больше уменьшаемого, результат получается отрицательным. Например: $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Сложение и вычитание смешанных чисел
Смешанное число — это целая часть плюс правильная дробь, например $2\frac{1}{3}$. Складывать и вычитать такие числа можно, не переводя их в неправильные дроби. Умножение и деление смешанных чисел разобраны ниже, в разделах про эти действия.
Два смешанных числа
Целые части складываются (вычитаются) отдельно, дробные — отдельно, как обычные дроби с приведением к общему знаменателю.
$$a\frac{b}{c} + d\frac{e}{f} = (a + d) + \left(\frac{b}{c} + \frac{e}{f}\right)$$
Если сумма дробных частей получилась неправильной дробью, из неё выделяют целую часть и прибавляют к целым: $1\frac{3}{4} + 2\frac{1}{2} = 3 + \frac{5}{4} = 3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$.
Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно «занять» единицу у целой части и превратить её в дробь с тем же знаменателем.
Смешанное число и обычная дробь
Дробную часть смешанного числа складывают с обычной дробью (или вычитают из неё) по обычным правилам. Целая часть остаётся как есть или участвует в заёме при вычитании.
Смешанное число и целое число
Целое число прибавляется к целой части (или вычитается из неё), дробная часть не меняется.
$$a\frac{b}{c} + n = (a + n)\frac{b}{c}$$
| Пример | Действие | Результат |
|---|---|---|
| $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{3}$ | $(1 + 2) + \left(\frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right)$ | $3\frac{5}{6}$ |
| $4\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4}$ | занимаем: $3\frac{5}{4} - 1\frac{3}{4}$ | $2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$ |
| $3\frac{2}{5} + \frac{1}{5}$ | $3 + \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{5}\right)$ | $3\frac{3}{5}$ |
| $6\frac{1}{2} - 4$ | вычитаем из целой части | $2\frac{1}{2}$ |
Умножение дробей
Умножение дробей — пожалуй, самое простое из всех действий: общий знаменатель искать не нужно. Числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
Сокращение перед умножением. До умножения удобно сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой (крест-накрест). В примере $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}$ сокращаем 3 и 3, а также 2 и 4: получается $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$. Числа становятся меньше, и считать проще.
Умножение дроби на целое число
Целое число — это дробь со знаменателем 1. Поэтому:
$$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{1} = \frac{a \cdot n}{b}$$
| Пример | Перемножаем | Результат | После сокращения |
|---|---|---|---|
| $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ | $\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}$ | $\frac{6}{12}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}$ | $\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10}$ | $\frac{15}{60}$ | $\frac{1}{4}$ |
| $\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7}$ | $\frac{7 \cdot 4}{8 \cdot 7}$ | $\frac{28}{56}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\frac{3}{5} \cdot 10$ | $\frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 1}$ | $\frac{30}{5}$ | $6$ |
Умножение смешанных чисел
Перед умножением смешанные числа переводят в неправильные дроби, а затем перемножают как обычные дроби. Перемножать отдельно целые и дробные части нельзя — это частая ошибка.
$$a\frac{b}{c} \cdot d\frac{e}{f} = \frac{a \cdot c + b}{c} \cdot \frac{d \cdot f + e}{f}$$
Деление дробей
Деление на дробь — самый «неочевидный» момент темы. Многие помнят правило «переворачиваем и умножаем», но почему оно работает, знают немногие. Разберёмся.
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$
- Шаг 1. Записать пример деления: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$.
- Шаг 2. Перевернуть вторую дробь (делитель): $\frac{c}{d}$ превращается в $\frac{d}{c}$.
- Шаг 3. Заменить деление умножением: $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.
- Шаг 4. Перемножить числители и знаменатели, сократить результат.
| Пример | Обратная дробь | Умножаем | Результат |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$ | $\frac{4}{1}$ | $\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 1}$ | $\frac{4}{2} = 2$ |
| $\frac{3}{5} \div \frac{9}{10}$ | $\frac{10}{9}$ | $\frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 9}$ | $\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$ |
| $\frac{5}{6} \div \frac{5}{3}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5}$ | $\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ |
| $\frac{4}{7} \div 2$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 2}$ | $\frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ |
Запомните: при делении положительного числа на дробь больше единицы результат получается меньше делимого, а при делении на дробь меньше единицы — больше делимого. Например, $1 \div \frac{1}{2} = 2$: в одном целом половина помещается два раза.
Деление обыкновенной дроби на смешанное число
Смешанное число сначала переводим в неправильную дробь, а дальше делим как обычно — переворачиваем делитель и умножаем.
Деление смешанных чисел
Оба смешанных числа переводим в неправильные дроби, дальше — обычное деление дробей.
Сравнение дробей
Сравнивать дроби приходится постоянно: какая скидка выгоднее — треть цены или $\frac{2}{7}$? Какой кусок торта больше — $\frac{3}{8}$ или $\frac{2}{5}$? Для этого есть несколько способов.
Способ 1: одинаковые знаменатели
Если знаменатели одинаковые, больше та дробь, у которой больше числитель.
$$\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \iff a > b \quad (c > 0)$$
Способ 2: приведение к общему знаменателю
Как и при сложении, приводим дроби к общему знаменателю и сравниваем числители.
$$\frac{a}{b} \ \text{и}\ \frac{c}{d} \quad\longrightarrow\quad \frac{a \cdot d}{b \cdot d} \ \text{и}\ \frac{c \cdot b}{d \cdot b}$$
Способ 3: перекрёстное умножение
Быстрый способ без поиска НОК: умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй, а числитель второй — на знаменатель первой, и сравниваем произведения. Способ работает для дробей с положительными знаменателями.
$$\frac{a}{b} \gtrless \frac{c}{d} \iff a \cdot d \gtrless c \cdot b \quad (b > 0,\ d > 0)$$
| Дробь 1 | Дробь 2 | Перекрёстные произведения | Вывод |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{3}$ | $\frac{2}{5}$ | $1 \cdot 5 = 5$ и $2 \cdot 3 = 6$ | $\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$ |
| $\frac{5}{7}$ | $\frac{3}{4}$ | $5 \cdot 4 = 20$ и $3 \cdot 7 = 21$ | $\frac{5}{7} < \frac{3}{4}$ |
| $\frac{4}{9}$ | $\frac{3}{7}$ | $4 \cdot 7 = 28$ и $3 \cdot 9 = 27$ | $\frac{4}{9} > \frac{3}{7}$ |
| $\frac{2}{6}$ | $\frac{3}{9}$ | $2 \cdot 9 = 18$ и $3 \cdot 6 = 18$ | $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$ |
Возведение дроби в степень
Возвести дробь в натуральную степень — значит умножить её саму на себя несколько раз. Правило простое: в степень возводят отдельно числитель и отдельно знаменатель.
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
Отрицательная степень
Отрицательная степень означает: взять обратную дробь и возвести её в ту же степень, но уже положительную. При этом числитель $a$ не должен быть равен нулю.
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} = \frac{b^n}{a^n}, \quad a \neq 0$$
| Выражение | Раскрываем | Результат |
|---|---|---|
| $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ | $\frac{1^2}{2^2}$ | $\frac{1}{4}$ |
| $\left(\frac{3}{5}\right)^2$ | $\frac{3^2}{5^2}$ | $\frac{9}{25}$ |
| $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ | $\frac{2^3}{3^3}$ | $\frac{8}{27}$ |
| $\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}$ | $\frac{4}{1}$ | $4$ |
| $\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$ | $\frac{5^2}{2^2}$ | $\frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$ |
Сокращение дробей
После любого действия с дробями стоит проверить, нельзя ли упростить результат. Дробь сокращается, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, большее 1. Удобнее всего сразу делить на их наибольший общий делитель (НОД).
$$\frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b}, \quad k \neq 0$$
Несократимая дробь — дробь, у которой НОД числителя и знаменателя равен 1. Например, $\frac{7}{12}$ несократима: 7 — простое число, и 12 на него не делится.
Сводная таблица всех действий
Шпаргалка по основным действиям с дробями:
| Действие | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Сложение | $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}$ | $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ |
| Вычитание | $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - cb}{bd}$ | $\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12}$ |
| Умножение | $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ | $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ |
| Деление | $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$ | $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{5}{6}$ |
| Сравнение | $\frac{a}{b} \gtrless \frac{c}{d} \iff ad \gtrless cb$ при $b, d > 0$ | $\frac{3}{8} < \frac{2}{5}$ |
| Степень | $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ | $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ |
| Сокращение | $\frac{ak}{bk} = \frac{a}{b}$, $k \neq 0$ | $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ |
Термины
- Числитель — верхнее число дроби; показывает, сколько частей взято.
- Знаменатель — нижнее число дроби; показывает, на сколько равных частей разделено целое.
- Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
- Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
- Смешанное число — сумма натурального числа и правильной дроби, например $2\frac{1}{3}$.
- НОК (наименьшее общее кратное) — наименьшее натуральное число, которое делится на каждый из знаменателей; используется для приведения дробей к общему знаменателю.
- НОД (наибольший общий делитель) — наибольшее натуральное число, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель; используется для сокращения дробей.
- Обратная дробь — дробь, у которой числитель и знаменатель поменялись местами; произведение дроби на обратную ей равно 1.
- Несократимая дробь — дробь, у которой НОД числителя и знаменателя равен 1.
Задачи для самопроверки
Прежде чем смотреть решение, попробуйте посчитать самостоятельно.
Задача 1
Вычислите: $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$.
Решение и ответ к задаче 1
НОК$(5, 10) = 10$. Приводим: $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$. Ответ: $\frac{7}{10}$.
Задача 2
Вычислите: $1\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5}$.
Решение и ответ к задаче 2
Переводим смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Умножаем: $\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{15} = 1$. Ответ: $1$.
Задача 3
Какая дробь больше: $\frac{5}{6}$ или $\frac{7}{9}$?
Решение и ответ к задаче 3
Перекрёстное умножение: $5 \cdot 9 = 45$ и $7 \cdot 6 = 42$. Так как $45 > 42$, то $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.
Задача 4
Вычислите: $3\frac{1}{6} - 1\frac{2}{3}$.
Решение и ответ к задаче 4
Приводим дробные части к знаменателю 6: $3\frac{1}{6} - 1\frac{4}{6}$. Так как $\frac{1}{6} < \frac{4}{6}$, занимаем единицу: $2\frac{7}{6} - 1\frac{4}{6} = 1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2}$. Ответ: $1\frac{1}{2}$.
Популярные вопросы и ответы
Как перевести смешанное число в неправильную дробь?
Целую часть умножьте на знаменатель и прибавьте числитель — получится новый числитель, а знаменатель останется прежним. Подробный разбор — в разделе «Правильные и неправильные дроби».
Почему при делении дробей нужно «переворачивать» вторую дробь?
Потому что разделить на число — значит умножить на обратное ему число, а обратная дробь получается именно перестановкой числителя и знаменателя. Подробное объяснение — в разделе «Деление дробей».
Обязательно ли сокращать дробь в ответе?
Да, ответ принято записывать в виде несократимой дроби — такой, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Несокращённый ответ формально верен, но в школе его могут не засчитать.
Можно ли складывать дроби, просто сложив числители и знаменатели?
Нет. Например, $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, а «сложение по частям» дало бы $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ — явно неверно. Складывать можно только числители дробей с одинаковыми знаменателями.
Заключение
Дроби — не абстракция из учебника, а инструмент описания реального мира. Когда вы делите пиццу, считаете скидку, отмеряете ингредиенты по рецепту или сравниваете цены, вы пользуетесь дробями.
Понимать, почему работают эти правила, важнее, чем просто их помнить. Когда вы знаете причину, правило не забывается: его можно вывести заново в любой момент.