Умножение дробей

Умножение дробей — одна из четырёх основных операций с дробями и, пожалуй, самая простая из них. Ниже — правило, подробные примеры, наглядные иллюстрации, история метода и ответы на вопрос «Почему именно так?». Материал подойдёт и школьникам, и родителям.

$$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$$

Главное правило умножения дробей

Главная идея проста: умножаем числители между собой и знаменатели между собой. Никакого приведения к общему знаменателю не нужно — в этом огромное отличие от сложения и вычитания дробей.

Основное правило. Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить числители (верхние числа) и перемножить знаменатели (нижние числа):

$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}, \quad b \neq 0,\ d \neq 0$$

Наглядная визуализация: дробь от дроби

Рассмотрим пример $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4}$ на прямоугольнике. Сначала делим его на 4 столбца (знаменатель второй дроби) и закрашиваем 3 из них. Затем делим на 2 строки (знаменатель первой дроби) и берём 1 строку. В пересечении — 3 клетки из 8.

Вариант с пиццей

Тот же пример на пицце: сначала берём три четверти, затем половину от них. Получаются три восьмых целой пиццы.

Подробные примеры с объяснением

Пример 1. Простейший случай

Вычислить: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5}$

1. Перемножаем числители: $2 \times 4 = 8$.
2. Перемножаем знаменатели: $3 \times 5 = 15$.
3. Составляем результат: $\dfrac{8}{15}$.
4. Проверяем, можно ли сократить: НОД$(8, 15) = 1$ — нельзя. Ответ готов.

$$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}$$

Пример 2. С сокращением до умножения

Вычислить: $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$

1. Числа $4$ и $8$ делятся на $4$: $4 \div 4 = 1$, $8 \div 4 = 2$.
2. Числа $3$ и $9$ делятся на $3$: $3 \div 3 = 1$, $9 \div 3 = 3$.
3. Получаем сокращённые дроби: $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}$.
4. Перемножаем: $\dfrac{1 \times 1}{3 \times 2} = \dfrac{1}{6}$.

$$\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{\cancel{4}^{\,1} \cdot \cancel{3}^{\,1}}{\cancel{9}^{\,3} \cdot \cancel{8}^{\,2}} = \dfrac{1}{6}$$

Пример 3. Дробь на целое число

Вычислить: $\dfrac{5}{7} \times 3$. Целое число $3$ записываем как дробь $\dfrac{3}{1}$:

$$\dfrac{5}{7} \times 3 = \dfrac{5}{7} \times \dfrac{3}{1} = \dfrac{5 \times 3}{7 \times 1} = \dfrac{15}{7} = 2\dfrac{1}{7}$$

Смысл: $\dfrac{5}{7}$ взяли три раза. Три раза по пять седьмых — пятнадцать седьмых.

Пример 4. Три дроби одновременно

Вычислить: $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{4}$

1. Все числители: $2 \times 1 \times 5 = 10$.
2. Все знаменатели: $5 \times 3 \times 4 = 60$.
3. Результат: $\dfrac{10}{60}$.
4. Сокращаем на 10: $\dfrac{1}{6}$.

$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{2 \times 1 \times 5}{5 \times 3 \times 4} = \dfrac{10}{60} = \dfrac{1}{6}$$

Способ «крест-накрест» (сокращение до умножения)

Это не отдельный способ умножения, а удобный приём предварительного сокращения, который заметно уменьшает числа в вычислениях. Название связано с тем, что мы смотрим на числитель одной дроби и знаменатель другой — крест-накрест (по-английски cross-cancellation).

Пример $\frac{6}{7} \times \frac{14}{9}$ по шагам

Шаг	Действие	Результат
1	Записываем пример	$\frac{6}{7} \times \frac{14}{9}$
2	НОД числителя первой дроби $6$ и знаменателя второй $9$ равен $3$	$6 \div 3 = 2$; $9 \div 3 = 3$
3	НОД числителя второй дроби $14$ и знаменателя первой $7$ равен $7$	$14 \div 7 = 2$; $7 \div 7 = 1$
4	Умножаем сокращённые дроби	$\frac{2}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

$$\dfrac{6}{7} \times \dfrac{14}{9} = \dfrac{\cancel{6}^{\,2}}{\cancel{7}^{\,1}} \times \dfrac{\cancel{14}^{\,2}}{\cancel{9}^{\,3}} = \dfrac{2 \times 2}{1 \times 3} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$$

Умножение смешанных чисел

Смешанное число (например, $2\dfrac{3}{4}$) — это целая часть плюс дробная. При умножении нельзя отдельно перемножать целые части и отдельно — дробные. Сначала смешанное число нужно перевести в неправильную дробь.

Перевод смешанного числа. Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель — получаем новый числитель. Знаменатель остаётся прежним:

$$a\dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times c + b}{c}$$

Пример 5. Два смешанных числа

Вычислить: $1\dfrac{1}{2} \times 2\dfrac{2}{3}$

1. Переводим $1\dfrac{1}{2}$: $\dfrac{1 \times 2 + 1}{2} = \dfrac{3}{2}$.
2. Переводим $2\dfrac{2}{3}$: $\dfrac{2 \times 3 + 2}{3} = \dfrac{8}{3}$.
3. Умножаем: $\dfrac{3}{2} \times \dfrac{8}{3}$.
4. Сокращаем $3$ с $3$ и $8$ с $2$: $\dfrac{1}{1} \times \dfrac{4}{1} = 4$.

$$1\dfrac{1}{2} \times 2\dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{\cancel{3}^{\,1}}{\cancel{2}^{\,1}} \times \dfrac{\cancel{8}^{\,4}}{\cancel{3}^{\,1}} = 4$$

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Смешанное число	Вычисление	Неправильная дробь
$1\frac{1}{2}$	$\frac{1 \times 2 + 1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$2\frac{2}{3}$	$\frac{2 \times 3 + 2}{3}$	$\frac{8}{3}$
$3\frac{3}{4}$	$\frac{3 \times 4 + 3}{4}$	$\frac{15}{4}$
$5\frac{1}{6}$	$\frac{5 \times 6 + 1}{6}$	$\frac{31}{6}$

Как умножали дроби в разные исторические эпохи

Правило «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель» известно тысячи лет, но форма записи и способы вычисления в разных культурах сильно различались.

1. Около 2000 г. до н.э., Вавилон. Вавилоняне считали в шестидесятеричной системе: вместо привычных нам дробей у них были «шестидесятые доли», «доли от 3600» и так далее. Для вычислений служили таблицы умножения и таблицы обратных величин: деление на число заменяли умножением на обратное ему.
2. Около 1650 г. до н.э., Египет. Египтяне пользовались в основном единичными дробями — с числителем 1: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{7}$ (их называют аликвотными). Особое исключение составляла дробь $\frac{2}{3}$. Остальные дроби раскладывали в сумму единичных, а умножение выполняли через последовательное удвоение и сложение — это видно по папирусу Ринда.
3. I в. до н.э. — I в. н.э., Китай. В трактате «Математика в девяти книгах» («Цзю чжан суань шу», 《九章算術》) правило умножения дробей сформулировано явно: числители перемножают, знаменатели перемножают. Это один из самых ранних письменных источников этого правила.
4. VII в., Индия. Брахмагупта в «Брахмасфутасиддханте» (628 г.) описывал действия с дробями. Индийские математики записывали дробь вертикально — числитель над знаменателем, но без черты.
5. IX–XII вв., арабский мир. Арабские учёные переняли индийскую позиционную систему и запись дробей; аль-Хорезми (около 830 г.) изложил индийскую арифметику в своём трактате. Черта между числителем и знаменателем появляется у математиков Магриба, в частности у аль-Хассара (XII в.).
6. 1202 г., Европа. Леонардо Пизанский (Фибоначчи), учившийся счёту в Северной Африке, в «Книге абака» (Liber Abaci) записывал дроби уже с чертой и объяснял их умножение. Дроби активно применялись в торговых задачах на «тройное правило» (пропорции).
7. 1703 г., Россия. В старорусских рукописях дроби называли «ломаными числами» или «долями». «Арифметика» Леонтия Магницкого — первый печатный русский учебник арифметики — уже содержала правила умножения дробей в привычном виде.

Схема-таблица и метод решётки

При умножении дробей удобно записывать вычисления в табличку: в одной строке — числители и их произведение, в другой — знаменатели и их произведение. Рассмотрим пример $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{6}$.

Схема умножения $\frac{3}{4} \times \frac{5}{6}$

	Первая дробь	Вторая дробь	Произведение
Числители	$3$	$5$	$15$
Знаменатели	$4$	$6$	$24$

$$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{15}{24} = \dfrac{5}{8}$$

Сам метод решётки (его называют также «gelosia» или «жалюзи») — это способ умножать многозначные числа с помощью сетки с диагоналями. Он известен в индийской и арабской математике и распространился в Европе в позднем Средневековье. К дробям он применяется, когда числители или знаменатели многозначные: решёткой отдельно перемножают числители и отдельно знаменатели.

Геометрический способ: умножение через площадь

Правило умножения дробей — не абстракция, а геометрически очевидный факт: площадь прямоугольника со сторонами $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{c}{d}$ равна произведению этих дробей.

Пример 6. Через площадь

Найти: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}$

1. Делим единичный квадрат на 3 столбца (знаменатель первой дроби) и отмечаем 2 столбца.
2. Делим тот же квадрат на 4 строки (знаменатель второй дроби) и отмечаем 3 строки.
3. В пересечении $2 \times 3 = 6$ клеток из $3 \times 4 = 12$.
4. Результат: $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.

$$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$$

Сравнение способов умножения

Какой способ когда выбирать

Способ	Когда удобен	Плюсы	Минусы
Прямое умножение	Всегда, особенно с небольшими числами	Простой и универсальный	До сокращения получаются большие числа
Сокращение крест-накрест	Когда числа большие	Меньше вычислений	Нужно находить НОД
Через площадь	Для понимания смысла	Наглядно и интуитивно	Неудобен при больших знаменателях
Схема-таблица, метод решётки	При многозначных числителях и знаменателях	Структурированная запись	Избыточен для простых случаев

Полный алгоритм умножения дробей

Алгоритм на примере $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9}$

Шаг	Действие	Пример
1	Смешанные числа перевести в неправильные дроби	Смешанных чисел нет
2	Сократить каждую дробь, если это возможно	$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
3	Сократить крест-накрест	$3$ и $9$: делим на $3$; $5$ и $5$: делим на $5$
4	Записать сокращённые дроби	$\frac{1}{1} \times \frac{1}{3}$
5	Перемножить числители	$1 \times 1 = 1$
6	Перемножить знаменатели	$1 \times 3 = 3$
7	Проверить, что ответ несократим; неправильную дробь перевести в смешанное число	$\frac{1}{3}$ — несократимая правильная дробь

$$\dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{\cancel{3}^{\,1}}{\cancel{5}^{\,1}} \times \dfrac{\cancel{5}^{\,1}}{\cancel{9}^{\,3}} = \dfrac{1}{3}$$

Частые ошибки и как их избежать

Шпаргалка: всё в одном месте

Главные формулы и правила

Что	Правило
Основное правило	$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
Дробь на целое число	$\frac{a}{b} \times n = \frac{a \cdot n}{b}$
Смешанное число	$n\frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b}$
Три дроби	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f}$
Сокращение	Делить числитель и знаменатель на их НОД
Две положительные правильные дроби	Произведение меньше каждого из множителей

Заключение

Умножение дробей — один из самых логичных алгоритмов школьной математики. В отличие от сложения, здесь не нужен общий знаменатель: числитель умножается на числитель, знаменатель — на знаменатель, и это прямо следует из смысла дроби как части целого.

К этому правилу пришли математики разных цивилизаций — китайской, индийской, арабской. Современная запись с чертой дроби — результат многовекового развития математики.

Главное — понять смысл: «часть от части». Тогда правило запомнится само собой.