Сокращение дробей
Сокращение дробей — один из главных инструментов математики: оно позволяет записать дробь в самом простом и удобном виде, не меняя её значения. В этой статье разберём, что происходит при сокращении, почему это правильно и как это делать — несколькими способами.
Что значит сократить дробь
Сократить дробь — значит разделить её числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, большее единицы. Результат — дробь, равная исходной, но записанная меньшими числами.
Почему сокращать дробь — правильно?
Это главный вопрос: почему, когда мы делим числитель и знаменатель на одно число, сама дробь не меняется?
Дробь — это результат деления. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отношение между ними не изменится. Именно это и называют основным свойством дроби.
Запишем формально. Пусть $a$, $b$ — натуральные числа, а натуральное число $k$ — их общий делитель. Тогда:
$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}$$
Почему? Раз $k$ — общий делитель, можно записать $a = k \cdot m$ и $b = k \cdot n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Тогда:
$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{k \cdot m}{k \cdot n} = \dfrac{k}{k} \cdot \dfrac{m}{n} = 1 \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{m}{n}$$
Множитель $\dfrac{k}{k} = 1$, а умножение на 1 ничего не меняет. Вот и всё объяснение.
Способы сокращения дробей
Существует несколько подходов. Выбирайте тот, что удобнее для конкретной дроби.
| Способ | Суть |
|---|---|
| 1. Последовательное деление | Делим числитель и знаменатель на любой общий делитель несколько раз, пока не получим несократимую дробь. |
| 2. Деление на НОД | Находим наибольший общий делитель (НОД) и делим числитель и знаменатель сразу на него — одно действие. |
| 3. Разложение на множители | Раскладываем числитель и знаменатель на простые множители, затем «зачёркиваем» одинаковые. |
Способ 1. Последовательное деление на общие делители
Самый интуитивный способ: видим, что оба числа чётные, — делим на 2. Снова чётные — делим ещё раз. И так до упора.
Пример 1. Сократить дробь $\dfrac{12}{18}$ последовательно.
-
12 и 18 — оба чётные, значит, делятся на 2:
$$\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 2}{18 \div 2} = \dfrac{6}{9}$$
-
6 и 9 — оба делятся на 3:
$$\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3}$$
-
2 и 3 — простые числа, общих делителей, кроме 1, у них нет. Дробь несократима.
Ответ: $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$.
Важно. Способ верный, но требует нескольких шагов. Если вы сразу видите большой общий делитель, лучше воспользоваться способом 2 и сократить за один раз.
Способ 2. Деление числителя и знаменателя на НОД
НОД (наибольший общий делитель) — самое большое число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. Разделив на него, мы сразу получаем несократимую дробь.
Алгоритм:
- Найти НОД числителя и знаменателя.
- Разделить на него оба числа.
Как найти НОД?
Два главных метода:
- Перебор делителей. Выписываем все делители каждого числа и выбираем наибольший общий.
- Алгоритм Евклида. Делим большее число на меньшее с остатком, затем делитель — на остаток, и так далее, пока остаток не станет равен нулю. Делитель последнего шага (он же последний ненулевой остаток) и есть НОД.
Пример 2. Сократить $\dfrac{24}{36}$ через НОД (перебор делителей).
-
Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
-
Общие делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из них — 12, то есть НОД(24, 36) = 12.
-
Делим числитель и знаменатель на 12:
$$\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{2}{3}$$
Ответ: $\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$.
Пример 3. Сократить $\dfrac{48}{84}$ через НОД (алгоритм Евклида).
Делим большее на меньшее с остатком и продолжаем, пока остаток не станет нулём:
| Шаг | Деление | Неполное частное | Остаток |
|---|---|---|---|
| 1 | 84 ÷ 48 | 1 | 36 |
| 2 | 48 ÷ 36 | 1 | 12 |
| 3 | 36 ÷ 12 | 3 | 0 |
Остаток стал равен 0. Последний ненулевой остаток — 12, значит, НОД(48, 84) = 12. Сокращаем:
$$\dfrac{48}{84} = \dfrac{48 \div 12}{84 \div 12} = \dfrac{4}{7}$$
Ответ: $\dfrac{48}{84} = \dfrac{4}{7}$.
Способ 3. Разложение на простые множители
Раскладываем числитель и знаменатель на простые множители и «зачёркиваем» одинаковые — это наглядно показывает, на что именно мы сокращаем.
Пример 4. Сократить $\dfrac{60}{90}$ через разложение на множители.
-
Раскладываем каждое число на простые множители:
$$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5, \qquad 90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$$
-
Записываем дробь и зачёркиваем одинаковые множители — каждый раз по одной паре «сверху и снизу»:
$$\dfrac{60}{90} = \dfrac{2 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{5}}$$
Зачёркнуты одна двойка, одна тройка и одна пятёрка: их произведение $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ — это и есть НОД(60, 90).
-
После зачёркивания остаётся:
$$\dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}$$
Ответ: $\dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}$.
Признаки делимости — быстрые подсказки
Чтобы не угадывать общий делитель вслепую, используют признаки делимости. Они позволяют быстро понять, на какое число делятся числитель и знаменатель.
| Делится на | Признак | Пример |
|---|---|---|
| 2 | Последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8) | 48 оканчивается на 8 — делится на 2 |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 | 84: 8 + 4 = 12, 12 делится на 3 — значит, и 84 делится |
| 4 | Число из двух последних цифр делится на 4 | 136: 36 ÷ 4 = 9 — делится на 4 |
| 5 | Последняя цифра 0 или 5 | 75 оканчивается на 5 — делится на 5 |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 | 63: 6 + 3 = 9 — делится на 9 |
| 10 | Последняя цифра 0 | 470 оканчивается на 0 — делится на 10 |
Примеры с большими числами
Когда числа большие, действовать вслепую сложно. Покажем, как признаки делимости и алгоритм Евклида помогают справиться быстро.
Пример 5. Сократить $\dfrac{126}{210}$.
-
Проверим признаки делимости:
- 126 — чётное, делится на 2; сумма цифр $1 + 2 + 6 = 9$, значит, делится на 3 и на 9;
- 210 — чётное, делится на 2; сумма цифр $2 + 1 + 0 = 3$, делится на 3; оканчивается на 0, делится на 5 и на 10.
Общие делители точно есть: 2, 3, а значит, и 6. Чтобы не сокращать в несколько шагов, найдём НОД алгоритмом Евклида.
-
Алгоритм Евклида для чисел 126 и 210 Шаг Деление Неполное частное Остаток 1 210 ÷ 126 1 84 2 126 ÷ 84 1 42 3 84 ÷ 42 2 0 НОД(126, 210) = 42.
-
$$\dfrac{126}{210} = \dfrac{126 \div 42}{210 \div 42} = \dfrac{3}{5}$$
Ответ: $\dfrac{126}{210} = \dfrac{3}{5}$.
Пример 6. Сократить $\dfrac{315}{735}$.
-
315 оканчивается на 5 — делится на 5; сумма цифр $3 + 1 + 5 = 9$ — делится на 9.
735 оканчивается на 5 — делится на 5; сумма цифр $7 + 3 + 5 = 15$ — делится на 3.
Оба числа делятся на 5. Начнём с этого:
$$\dfrac{315}{735} = \dfrac{315 \div 5}{735 \div 5} = \dfrac{63}{147}$$
-
Разложим: $63 = 3 \cdot 3 \cdot 7$, $147 = 3 \cdot 7 \cdot 7$. Общие множители — 3 и 7, то есть НОД(63, 147) $= 3 \cdot 7 = 21$. Проверим алгоритмом Евклида:
Алгоритм Евклида для чисел 63 и 147 Шаг Деление Неполное частное Остаток 1 147 ÷ 63 2 21 2 63 ÷ 21 3 0 НОД(63, 147) = 21. Делим:
$$\dfrac{63}{147} = \dfrac{63 \div 21}{147 \div 21} = \dfrac{3}{7}$$
-
3 и 7 — простые числа, общих делителей, кроме 1, нет. Готово.
Заметим, что НОД(315, 735) $= 5 \cdot 21 = 105$, поэтому можно было сократить сразу: $315 \div 105 = 3$, $735 \div 105 = 7$.
Ответ: $\dfrac{315}{735} = \dfrac{3}{7}$.
Когда дробь сократить нельзя
Не каждую дробь можно сократить. Если НОД числителя и знаменателя равен 1, дробь уже несократима.
Пример 7. Проверить, сократима ли дробь $\dfrac{13}{21}$.
- 13 — простое число: оно делится только на 1 и на 13.
- $21 = 3 \cdot 7$, на 13 не делится.
- Значит, НОД(13, 21) = 1: общих делителей, кроме 1, нет.
Ответ: дробь $\dfrac{13}{21}$ уже несократима.
Сравнение способов
| Способ | Когда удобен | Пример | Количество шагов |
|---|---|---|---|
| Последовательное деление | Небольшие числа, очевидные делители | $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ | Несколько делений подряд |
| Деление на НОД | Любые числа — самый универсальный | $\frac{48}{84} = \frac{4}{7}$ | Одно деление (после нахождения НОД) |
| Разложение на множители | Когда числа легко раскладываются; хорошо показывает суть | $\frac{60}{90} = \frac{2}{3}$ | Зависит от количества множителей |
Типичные ошибки
- Делить только числитель или только знаменатель. Так нельзя: $\dfrac{6}{8} \neq \dfrac{3}{8}$. При сокращении нужно делить и числитель, и знаменатель на одно и то же число.
- Сократить «не до конца». Если разделили на 2, а можно было ещё на 3, дробь ещё не несократимая. Проверяйте результат: нет ли у нового числителя и знаменателя общих делителей, кроме 1.
- Пытаться «сократить» на ноль или на единицу. Делить на ноль нельзя, а деление на 1 ничего не меняет. Сокращают только на натуральное число, большее 1, которое делит и числитель, и знаменатель.
Общий алгоритм сокращения
- Посмотрите на числитель и знаменатель и проверьте признаки делимости: есть ли очевидный общий делитель (2, 3, 5, 10)? Если есть — можно сразу на него сократить.
- Найдите НОД чисел любым способом: перебором делителей, разложением на множители или алгоритмом Евклида.
- Разделите числитель и знаменатель на НОД.
- Проверьте результат: если у нового числителя и знаменателя НОД равен 1, дробь несократима. Готово.
Главное о сокращении дробей
- Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, большее 1. Значение дроби при этом не меняется.
- Это верно, потому что $\dfrac{k}{k} = 1$, а умножение на 1 ничего не меняет.
- Есть три способа: последовательное деление, деление на НОД и разложение на простые множители. Деление на НОД — самый универсальный.
- НОД удобно искать алгоритмом Евклида: делить с остатком, пока остаток не станет нулём; последний ненулевой остаток — это НОД.
- Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 и 10 помогают быстро найти общий делитель.
- Если НОД числителя и знаменателя равен 1, дробь несократима — она уже в самом простом виде.