Деление обыкновенных дробей

Что значит «разделить»?

Выражение $a \div b$ отвечает на вопрос: сколько раз $b$ укладывается в $a$? Например, $6 \div 2 = 3$ — двойка укладывается в шестёрку три раза. С дробями работает точно так же.

Возьмём пример: $\dfrac{1}{2} \div \dfrac{1}{4}$. Вопрос звучит так: сколько раз четверть укладывается в половину? Если разрезать половину пиццы на кусочки по четверти, получится ровно два куска.

Взаимно обратные числа

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы получить число, обратное дроби, нужно поменять числитель и знаменатель местами.

У нуля обратного числа не существует — на ноль делить нельзя.

Правило деления обыкновенных дробей

Разделить на дробь — значит умножить на обратную (перевёрнутую) дробь:

$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Почему нужно переворачивать дробь?

Разберём три объяснения — от самого наглядного к строгому.

Объяснение 1. «Сколько раз укладывается?»

Возьмём отрезок длиной $\dfrac{3}{4}$ и посчитаем, сколько кусков по $\dfrac{1}{8}$ в нём поместится.

Чем меньше кусок-делитель, тем больше таких кусков поместится в делимом — поэтому мы умножаем на знаменатель делителя, то есть на перевёрнутую дробь.

Объяснение 2. Деление на дробь меньше 1 — это увеличение

Парадокс, который сбивает с толку многих: при делении на дробь меньше 1 результат становится больше исходного числа.

Например, $6 \div 2 = 3$, а $6 \div \dfrac{1}{2} = 12$: в шести целых умещается 12 половинок. Правая колонка таблицы — это всегда перевёрнутая дробь из левой.

Объяснение 3. Деление — обратное умножению (строгое доказательство)

Если $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = x$, то по определению деления $x \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4}$. Чтобы найти $x$, умножим обе части на обратную дробь $\dfrac{5}{2}$:

$$x \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2}$$

Слева $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{2} = 1$, значит:

$$x = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8} = 1\dfrac{7}{8}$$

Алгоритм деления обыкновенных дробей

1. Запишите пример. Убедитесь, что обе дроби — обыкновенные.
2. Переверните вторую дробь (делитель) и замените знак ÷ на ×.
3. Умножьте числители между собой и знаменатели между собой.
4. Сократите результат, если это возможно.

История деления дробей

1. ≈ 1650 г. до н.э., Древний Египет. Дроби записывали как суммы дробей вида $\dfrac{1}{n}$, деление сводилось к поиску нужной строки в готовых таблицах.
2. ≈ 300 г. до н.э., Древняя Греция. Евклид выражал деление дробей через пропорции: $c:d = a:x$, откуда $x = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$.
3. VII–XII вв., арабский мир. Аль-Хорезми и аль-Карахи первыми явно сформулировали правило умножения крест-накрест в привычной записи «числитель/знаменатель».
4. XIII–XVI вв., Европа. Фибоначчи и Симон Стевин закрепили «перекрёстное умножение» в торговых счётных книгах, придав ему современную алгебраическую форму.
5. XIX–XX вв. Правило «переверни и умножь» стало стандартной школьной формулировкой.

Деление дроби на натуральное число

Вычислите: $\dfrac{5}{6} \div 10$

1. Записываем натуральное число как дробь: $10 = \dfrac{10}{1}$.
2. Переворачиваем делитель и меняем ÷ на ×: $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{10}$.
3. Умножаем: $\dfrac{5 \times 1}{6 \times 10} = \dfrac{5}{60}$.
4. Сокращаем на 5: $\dfrac{1}{12}$.

Ответ: $\dfrac{1}{12}$.

Деление натурального числа на дробь

Вычислите: $6 \div \dfrac{3}{4}$

1. Записываем 6 как дробь: $\dfrac{6}{1}$.
2. Переворачиваем делитель и меняем ÷ на ×: $\dfrac{6}{1} \times \dfrac{4}{3}$.
3. Умножаем: $\dfrac{6 \times 4}{1 \times 3} = \dfrac{24}{3}$.
4. Получаем: $8$.

Ответ: $8$ — в шести целых умещается 8 кусков по $\dfrac{3}{4}$.

Деление на смешанное число

Прежде чем применять правило, смешанное число нужно перевести в неправильную дробь: умножить целую часть на знаменатель и прибавить числитель.

Вычислите: $\dfrac{3}{4} \div 1\dfrac{1}{2}$

1. Переводим смешанное число: $1\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 2 + 1}{2} = \dfrac{3}{2}$.
2. Переворачиваем делитель: $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}$.
3. Умножаем: $\dfrac{3 \times 2}{4 \times 3} = \dfrac{6}{12}$.
4. Сокращаем: $\dfrac{1}{2}$.

Ответ: $\dfrac{1}{2}$.

Аналогично решаются и другие случаи со смешанными числами:

Разобранные примеры

Пример 1. Дробь на дробь

Вычислите: $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5}$

1. Переворачиваем делитель: $\dfrac{2}{5} \to \dfrac{5}{2}$.
2. Получаем умножение: $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2}$.
3. Умножаем: $\dfrac{3 \times 5}{4 \times 2} = \dfrac{15}{8}$.

Ответ: $\dfrac{15}{8} = 1\dfrac{7}{8}$.

Пример 2. С сокращением до умножения

Вычислите: $\dfrac{4}{9} \div \dfrac{8}{3}$

1. Переворачиваем делитель: $\dfrac{8}{3} \to \dfrac{3}{8}$.
2. Получаем умножение: $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$.
3. Сокращаем крест-накрест: 4 и 8 — на 4; 3 и 9 — на 3. Получаем $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}$.
4. Умножаем: $\dfrac{1}{6}$.

Ответ: $\dfrac{1}{6}$.

Типичные ошибки

Проверьте себя

Решите примеры самостоятельно, затем нажмите «Показать ответ», чтобы проверить себя.

1. $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{9}$

   Показать ответ

2. $8 \div \dfrac{2}{5}$

   Показать ответ

3. $\dfrac{7}{8} \div 14$

   Показать ответ

4. $3\dfrac{1}{2} \div 1\dfrac{1}{4}$

   Показать ответ

Заключение

Деление обыкновенных дробей всегда сводится к одному действию: перевернуть делитель и умножить. Смешанные числа перед этим переводятся в неправильные дроби, а натуральные числа записываются как дроби со знаменателем 1. Само правило — не произвольная договорённость, а прямое следствие того, что деление является обратной операцией к умножению.

Разделить на дробь — значит умножить на обратную ей дробь: $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$.